Definição de derivada e regras de derivação

Tomemos os coeficientes angulares, m(x) = (f(x)-f(a))/(x-a), também chamados declividades, das retas secantes a G(f) por (x,f(x)) e (a,f(a)). Se a ``reta limite'' de nossas considerações preliminares existir e não for vertical, significa que os coeficientes angulares m(x) tendem a um valor fixo, m(a), que é o coeficiente angular da reta tangente e que chamaremos derivada de f em a. Na definição precisa, a seguir, o ponto a é ponto de $A\subset\mathbb R$ e também ponto de acumulação de A. Isto é, lembrando que A' denota o conjunto dos pontos de acumulação de A, impomos $a\in A\bigcap A'$.

Definição 3.1.1   Consideremos uma função $f:A\to \mathbb R$ e $a\in A\bigcap A'$. A função f é derivável em a, se existir o limite

$$f'(a)=\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ (3.2)

Neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.

Há várias notações para a derivada. Sendo y=f(x), as seguintes são algumas das mais comuns:

$$y',\quad f'(a),\quad \frac{dy}{dx},\quad \left.\frac{dy}{dx}... ...\left.\frac{df}{dx}\right\vert _{x=a},\quad \frac{d}{dx}f(a).$$

O termo diferenciável é sinônimo de derivável e também será usado de agora em diante com a mesma liberdade com que passaremos de uma para qualquer outra das notações acima. A notação dy/dx é devida a Leibnitz. No seu tempo a formalização do conceito de limite não havia sido atingida e o uso dessa notação pode ser explicado da seguinte forma: O acréscimo da variável x, $\Delta x=x-a$, produz um acréscimo da variável y, $\Delta y=y-b:=f(a+\Delta x)-f(a)$. A idéia é que, ao se tornarem ``infinitamente pequenos'', esses acréscimos passavam a ser denotados por dx e dy, respectivamente, e operavam-se com eles formalmente como com dois números quaisquer. A razão $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ transformava-se em dy/dx e este símbolo não representava um ente uno, como acontece hoje, mas o quociente entre dy e dx. A despeito desses argumentos não terem uma clara fundamentação lógica, devem ser julgados no contexto de sua época. A notação de Leibnitz permanece e o leitor notará que ela é útil sendo, em muitas circunstâncias, a mais sugestiva.

A notação f'(x) é atribuída a Lagrange. É a notação mais conveniente quando f é diferenciável em um conjunto A e se considera a função derivada em A. Isto é, a função f' que associa a cada $x\in A$ a derivada f'(x) de f no ponto x. Quando a variável independente representa o tempo e é indicada por t, também se usa para a derivada de y=f(t) a notação $\dot y$, atribuída a Newton.

Após as consideraçõe feitas até aqui é natural colocar:

Definição 3.1.2   Sendo y=f(x) derivável em a, a reta tangente ao gráfico, G(f), em (a,b), b=f(a), é a reta dada por:

y - b = f'(a)(x - a).

Se a equação horária de um movimento retilíneo é x=s(t), onde s é uma função diferenciável da variável tempo t, a velocidade v(t₀) num instante t₀ é a derivada de s em t₀, isto é, v(t₀):=s'(t₀).

Exemplo 3.1.1 (1)   Se $f(x)=k \ (constante)$, então f'(x)=0. De fato, neste caso, o limite (1.1) fica

$$\lim_{x\to a}\frac{k-k}{x-a}=0$$

em qualquer ponto a.

(2) Se f(x)=x², então f'(a)=2a. De fato,

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{x^2-a{}^2}{x-a} = \lim_{x\to a}(x+a)= 2a.$$

(3) A reta tangente à parábola y=x², no ponto (2,4) é

 

y-4 = 4(x-2). (3.3)

De fato, a derivada de x² no ponto x=2 é igual a 4. Usando agora o fato de que a equação da reta de coeficiente angular m, passando pelo ponto (a,b), é dada por

y-b = m(x-a)

chega-se à equação (3.3).

(4) Generalizando o item (2), tem-se

$$(x^n)' = n x^{n-1} , \quad n=1,2, \ldots.$$

Antes de provarmos esse fato, convém observar que, se f é uma função diferenciável em um ponto a, na definição de derivada, o limite (1.1) pode ser escrito na forma

$$f'(a)= \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h,$$

o que será feito com muita frequência daqui em diante.

Retomando o nosso exemplo, aplicando o desenvolvimento do binômio obtemos:

$$\begin{split} (x^n)' &=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n - x^n} h \... ...n-2} h + \ldots + h^{n-1} ] \\ &= n x^{n-1}. \end{split}$$

Para n=1, temos um caso particular importante dessa fórmula:

(x)'=1,

isto é, a derivada da função identidade é 1. A fórmula neste caso faz sentido apenas para $x\ne0$, uma vez que a expressão 0⁰ não é definida. Entretanto, o leitor pode verificar diretamente, a partir da definição de derivada, que (x)'=1, inclusive no ponto x=0.

(5) $\text{\rm sen}'x = \cos x$. De fato, usando o Primeiro Limite Fundamental para justificar a penúltima e a última linha da seguinte cadeia de igualdades, temos:

$$\begin{split} \text{\rm sen}'x &= \lim_{h\to0} \frac{\text{... ...cdot\frac{\text{\rm sen}\ x}2 + \cos x = \cos x. \end{split}$$

(6) $\cos'x= -\text{\rm sen}\ x$. O leitor deve se encarregar da demonstração desse fato.

Definição 3.1.3   Se a função $f:A\to \mathbb R$ é derivável em cada ponto de um conjunto $B\subset A$, diz-se que f é derivável (ou diferenciável) em B. Se tivermos A=B, diremos simplesmente que f é derivável.

Assim, as funções $\text{sen}$, $\cos$ e y=xⁿ, $n\in{\mathbb N}$, são exemplos de funções diferenciáveis. A seguinte proposição e os próximos dois exemplos ajudam a entender como deve ser uma função não diferenciável.

Proposição 3.1.1   Se uma função f é derivável em um ponto a, então f é contínua em a.

Prova. Note que f é contínua em a se, e somente se,

$$\lim_{h\to0}\left[f(a+h)-f(a)\right]=0.$$

Este, de fato, é o caso quando f é diferenciável em a, pois:

$$\lim_{h\to0}\left[f(a+h)-f(a)\right] = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}hh = f'(a)\cdot0 = 0.$$

Como estamos interessados em entender como é uma função não diferenciável num ponto, podemos reformular a Proposição 3.1.1 dizendo que toda função descontínua num ponto a é não diferenciável em a.

A pergunta agora é: vale a recíproca da Proposição 3.1.1? Ou seja, será que toda função contínua em a é diferenciável nesse ponto?

A resposta é negativa (como era de se esperar, pois em caso afirmativo, os conceitos de diferenciabilidade e continuidade seriam equivalentes e poderíamos ficar com apenas um deles). Os exemplos seguintes mostram funções contínuas e não diferenciáveis em um ponto. As funções diferenciáveis formam, portanto, uma classe mais seleta, ser diferenciável é ser contínua e mais alguma coisa.

Exemplo 3.1.2   A função f(x)=|x| é contínua, mas não diferenciável, no ponto a=0. De fato, neste caso, o limite (3.2) em a=0, calculado à esquerda e à direita, assume valores distintos:

$$\lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}h = \lim_{h\to0-}\frac{-h}h=-1,$$ (3.4)

$$\lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}h = \lim_{h\to0+}\frac hh=1,$$ (3.5)

logo, não existe f'(0).

As expressões (3.4) e (3.5) são chamadas, respectivamente, derivada à esquerda e derivada à direita de f em 0. São denotadas por f'(0-) e f'(0+). Considerando limites laterais em (3.2) e lembrando as propriedades desses limites temos: Seja a um ponto do domínio de uma funçao f e também ponto de acumulação lateral desse domínio, deixando-o à esquerda e à direita. f é diferenciável em a se, e somente se, suas derivadas laterais existem e coincidem. Neste caso, f'(a)=f'(a-)=f'(a+).

Exemplo 3.1.3   A função $f(x)=\min\{x^2,x^4\}$ é contínua, mas não diferenciável, nos pontos $a=\pm1$. Deixamos ao leitor, como exercício, a verificação da continuidade de f. A não diferenciabilidade em a=1 é consequência da propriedade que enunciamos acima a respeito das derivadas laterais. De fato, como x⁴<x², para -1<x<1, e x²<x⁴, para x>1, usando o mesmo raciocínio do Exemplo 3.1.2, obtemos: $f' ( 1- ) = 4 \neq 2 = f' ( 1+ )$.

O leitor dispõe de mais de um recurso para verificar a não diferenciabilidade em a=-1, inclusive o de explorar o fato de ser f uma função par. Por isso deixamos essa tarefa a seu encargo como exercício.

 

Figure: $\min\{x^2,x^4\}$

A Figura 3.2 representa o gráfico da função do Exemplo 3.1.3. Observando essa figura, bem como o gráfico de f(x)=|x|, e refletindo um pouco sobre uma possível recíproca da Proposição 3.1.1, o leitor concluirá que ela é inviável. Além das descontinuidades, os pontos onde o gráfico apresenta uma ``quina'', uma situação de ``não concordância'', são pontos onde não existe reta tangente ao gráfico, embora tenhamos continuidade da função nesses pontos.

Numa linguagem intuitiva, estas são situações típicas de não diferenciabilidade, enquanto que, grosso modo, o gráfico de uma função diferenciável tem um aspecto suave, não anguloso, como o gráfico de f(x)=x³ ou das funções $\text{sen}\ x$ ou $\cos x$, por exemplo.

As situações mostradas no Exemplo 3.1.4 mostram que a idéia de diferenciabilidade por estas observações, apezar de útil, não é precisa. A função g do item (1) do Exemplo 3.1.4 tem um aspecto parecido com o da função f dada em (3.1). O leitor deve fazer um esboço do gráfico de ambas. Embora esses gráficos tenham uma certa semelhança, g é diferenciável em x=0 enquanto f não é.

Exemplo 3.1.4 (1)   A função

$$g(x)= x^2 \text{\rm sen}\,(1/x), \text{ se } x \neq 0, \quad g(0)=0$$

é diferenciável em x=0 e g'(0)=0. De fato,

$$g'(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}x =\lim_{x\to0}\frac{x^2\text{\rm sen}\,(1/x)}x =\lim_{x\to0}x\text{\rm sen}\frac1x=0.$$

De acordo com a Proposição 2.2.3, a última igualdade segue do fato de $x\text{\rm sen}(1/x)$ ser o produto de uma função que tende a zero, quando $x\to0$, por uma função limitada.

O seguinte exemplo mostra uma outra situação.

(2) As funções $f(x)=\root n\of x,\ n=2,3,\ldots$ não são diferenciáveis em x=0. De fato,

$$\lim_{h\to0}\frac{\root n\of{0+h}-\root n\of0}h= \lim_{h\to0}\bigl(1/h\bigr)^{(1-1/n)}=\infty,$$

portanto, não existe f'(0). Neste caso, a tangente ao gráfico no ponto (0,0) existe, mas é vertical e seu coeficiente angular não está definido. O caso da raíz cúbica (n=3) está representado na Figura 3.3.

 

Figure 3.3: y=x³

A definição de derivada, como recurso para o cálculo, é pouco manejável. A seguinte proposição estabelece propriedades importantes das derivadas. São regras de derivação que facilitam os cálculos.

Proposição 3.1.2   Se f e g são duas funções diferenciáveis em x, então as funções f+g, fg e, se $g(x)\ne0$, f/g também o são. Valendo as seguintes fórmulas:

(a)

$\left[f(x)+g(x)\right]'= f'(x) + g'(x),$

(b)

$\left[f(x)g(x)\right]'= f'(x)g(x) + f(x)g'(x),$

(c)

$\left[f(x)/g(x)\right]'= \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}.$

Prova. Devemos mostrar que o limite do membro esquerdo de cada expressão (a), (b) e (c) existe e é igual ao membro direito. Demonstraremos apenas (b) e (c), ficando (a) a cargo do leitor.

(b) A segunda igualdade abaixo pode ser obtida subtraindo e somando f(x+h)g(x) ao numerador da fração sob o sinal de $\lim$:

$$\begin{split} &\left[f(x)g(x)\right]'=\\ &\lim_{h\to0}\fra... ...f(x+h)-f(x)}h\right]=\\ & f(x)g'(x)+g(x)f'(x). \end{split}$$

Esta última linha obtem-se de $\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)$, como decorre da continuidade de f.

(c) Neste caso, subtraindo e somando a expressão g(x)f(x) convenientemente e usando a continuidade de g(x), temos

$$\begin{split} \left[f(x)/g(x)\right]' &= \lim_{h\to0}\frac{... ...\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}, \end{split}$$

o que finaliza as partes (b) e (c) da prova.

O ítem (a) da proposição anterior se estende naturalmente a um número finito qualquer de parcelas.

Sendo $f_j,\ j=1,2,\ldots,n,\ n>2,$ funções diferenciáveis em x, o leitor poderá usar o princípio de indução finita para demonstrar a seguinte fórmula:

 $$\begin{gather} \left[f_1(x)f_2(x)\ldots f_n(x)\right]' = f'_1(x)f_2(x)\ldots ... ...\\ f_1(x)f'_2(x)\ldots f_n(x)+\cdots +f_1(x)f_2(x)\ldots f'_n(x). \end{gather}$$

Observe que a fórmula acima inclui, como caso particular, a nossa já conhecida $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$ ou, mais geralmente, se u(x) é uma função diferenciável e n>1 é um inteiro, então tomando f_i(x)=u(x), $i=1,\ldots,n$, em (3.6), obtemos a seguinte fórmula:

$$\left[u^n(x)\right]'=nu^{n-1}(x)u'(x).$$ (3.6)

Uma importante consequência da Proposição 3.1.2 é a seguinte: Todo polinômio é uma função diferenciável. Os itens (1) e (2) do Exemplo 3.1.5 são consequências imediatas dos itens (b) e (c) da Proposição 3.1.2.

Exemplo 3.1.5 (1)   Se $f(x)=x^3 \text{\rm sen}\,x$, então $f'(x)=3x^2\text{\rm sen}\,x + x^3\cos x$.

(2) (1/x)'=-1/x². Mais geralmente, se u(x) é diferenciável, $u(x)\ne0$, então

$$\left[\frac 1{u(x)}\right]'=-\frac {u'(x)}{[u(x)]^2}.$$ (3.7)

Os itens abaixo mostram que podemos agora obter fórmulas de derivação para as funções trigonométricas.

(3) $[\tan x]' = \sec^2 x$. De fato, como $\tan x=(\text{\rm sen}\,x)/(\cos x)$, temos:

$$\begin{split}[\tan x]' &=\frac{\text{\rm sen}'\ x \cos x - \... ...2x +\text{\rm sen}^2x}{\cos^2x} \\ &= \sec^2x. \end{split}$$

(4) $[\cot x]'=-\csc^2 x$. Fica a cargo do leitor verificar esta fórmula. Para isso basta seguir os mesmos passos do exemplo anterior.

(5) $[\sec x]'=\sec x\tan x.$ De fato, como consequência do item (2) temos:

$$[\sec x]'=\left[\frac1{\cos x}\right]'= \frac{\text{\rm sen}\,x}{\cos^2x}=\sec x\tan x.$$

(6) $[\csc x]'=-\csc x\cot x$. Esta fórmula é análoga à anterior.

Suponhamos agora que y=f(x) seja uma função invertível definida num intervalo I, derivável em a, com $f'(a)=m\ne0$. Essas condições sobre f, como já sabemos, são equivalentes a que o gráfico da função f, G(f), possua uma reta tangente no ponto (a,b), onde b=f(a), com declividade $m=\tan \theta \neq 0$, onde $\theta$ é a medida (tomando como positivo o sentido anti-horário) do ângulo que o eixo x faz com a reta.

Ora, observemos que o gráfico de f^-1, G(f^-1), pode ser visto como o próprio G(f) se forem trocados os papéis de x e y e se, além disso, quando traçarmos G(f^-1), representarmos a primeira coordenada - a variável independente y - no eixo vertical e a segunda - a variável dependente x - no eixo horizontal. Isto é,

$$G(f^{-1}) = \{(y,f^{-1}(y))\,\vert\,y\in f(I)\} = G(f) = \{(x,f(x))\,\vert\,x\in I\}.$$

Então a mesma reta que é tangente a G(f), em (a,b), será tangente a $G(f^{-1}) = \{\bigl(y,f^{-1}(y)\bigr)\,\vert\, y\in f(I)\}$, em (b,a). Entretanto, respeitando a a troca dos papéis de x e y, a declividade da reta tangente a G(f^-1) deve ser vista como a tangente trigonométrica do ângulo $\phi$ que ela faz com o eixo y, tomando o sentido horário como positivo. Ou seja, sua declividade é $\cot\theta= 1/m$. Concluimos, portanto, que f^-1 é derivável em b e

$$\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac1{f'(a)}.$$

Confira com a Figura 3.4.

 

Figure: $\bigr(f^{-1}\bigr)'(b)=\tan\phi=\cot\theta=1/f'(a)$

Observando que uma função $f:I\to f(I)\subset\mathbb R$, contínua num intervalo I, é invertível se, e somente se, f é estritamente crescente ou estritamente decrescente, podemos resumir as conclusões de nossas observações na seguinte proposição:

Proposição 3.1.3   Seja y=f(x) uma função estritamente crescente (ou estritamente decrescente) num intervalo I e derivável num ponto $a\in I$, com $f'(a)\ne0$. Então a função inversa x=f^-1(y) é derivável em b=f(a) e

$$\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac1{f'(a)}.$$

Se as hipóteses da Proposição 3.1.3 estiverem satisfeitas, numa notação incompleta, mas sugestiva, temos

$$\frac{dx}{dy}=\frac1{\frac{dy}{dx}}.$$

Importantes consequências dessa proposição estão contidas nos exemplos abaixo.

Exemplo 3.1.6 (1)   Consideremos a função y=f(x)=xⁿ, $n\ge2$, $n\in\mathbb Z$. Acertemos que o domínio de f é $[0,\infty)$, quando n é par, e toda a reta $\mathbb R$, em caso contrário. Notando que f é estritamente crescente e que $dy/dx= nx^{n-1}\ne0$ nos pontos $x\ne0$, a Proposição 3.1.3 implica a seguinte regra de derivação:

A função inversa, x=y^1/n, é diferenciável, para $y\ne0$, e

$$\frac{dx}{dy}=\frac1{\frac{dy}{dx}}=\frac1{nx^{n-1}}=\tfrac1nx^{-n+1}= \tfrac1n(y^{\frac1n})^{-n+1}= \tfrac1ny^{\frac1n-1}.$$

(2) Seja y=x^m/n, $m,n=2,3,\ldots$ Sendo u(x)=x^1/n, temos $y=\left(u(x)\right)^m$ e, portanto, a Fórmula (3.8), subsequente à Proposição 3.1.2, implica $y'= m\left(u(x)\right)^{m-1}u'(x)$, donde

$$\frac{dy}{dx}=m\left(x^{\frac1n}\right)^{m-1}\tfrac1n x^{\frac1n-1}= \tfrac mn x^{\frac mn-1}.$$

De um modo geral, reunindo os fatos contidos nos dois últimos exemplos, conclui-se que também para expoentes racionais, vale regra de derivação

$$\left(x^r\right)'=rx^{r-1},\qquad r\in\mathbb Q,$$ (3.8)

que generaliza o item (4) do Exemplo 3.1.1.

Com relação a derivação de potências, a Fórmula (3.10) nos leva tão longe quanto se pode no momento. Num futuro próximo daremos sentido à Fórmula (3.10) para $r\in\mathbb R$ e provaremos que ela vale nesse contexto mais geral.

Outras consequências importantes da Proposição 3.1.3 são as fórmulas de derivação das funções trigonométricas inversas que estabelecemos nos exemplos abaixo.

Exemplo 3.1.7 (1)   $y=\text{\rm arcsen} x$. Aqui, para o estudo da diferenciabilidade, é usual restringir-se o domínio a (-1,1) e o contra-domínio a $(-\pi/2,\pi/2)$. Temos assim uma função estritamente crescente, inversa de $x=\text{\rm sen}\ y$.

De acordo com a Proposição 3.1.3, temos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}}=\frac1{\cos y}.$$

Lembrando que $\cos y=\sqrt{1-\text{\rm sen}^2y}=\sqrt{1-x^2}$, isto nos leva finalmente à fórmula

$$\frac d{dx}\text{\rm arcsen}\ x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$

(2) $y=\arccos x.$ Neste caso é usual tomar-se (-1,1) como domínio e $(0,\pi)$ como contra-domínio. Podemos proceder de modo análogo ao do exemplo anterior para mostrar:

$$\frac d{dx}\arccos x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$

(3) $y=\arctan x$. Tomando $\mathbb R$ como domínio e $(-\pi/2,\pi/2)$ como contra-domínio (Veja a Figura 3.5), o mesmo tipo de argumento nos leva à fórmula

$$\frac d{dx}\arctan x=\frac1{\sec^2y}=\frac1{1+\tan^2y}=\frac1{1+x^2}.$$

 

Figure: $y=\arctan x$

O leitor deve preencher os detalhes dos próximos três exemplos, especificando os domínios e contra-domínios das funções correspondentes.

(4) $\frac d{dx}\text{\rm arccot}\ x=-\frac1{1+x^2}.$

(5) $\frac d{dx}\text{\rm arcsec}\ x=\frac1{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}}.$

(6) $\frac d{dx}\text{\rm arccsc}\ x=-\frac1{\vert x\vert\sqrt{x^2-1}}.$